No cotidiano, muitas vezes usamos
expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou
numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o
preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como
1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche,
somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes
do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor
do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o
valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são
encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de
áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Expressão algébrica
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Objeto matemático
|
Figura
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A = b x h
|
Área do retângulo
|
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A = b x h / 2
|
Área do triângulo
|
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P = 4 a
|
Perímetro do quadrado
|
|
Na Antiguidade, as letras foram pouco
usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas,
os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para
representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de
Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do
ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir
mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático
alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e
Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o
matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de
letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo
algébrico.
São expressões matemáticas que envolvem
operações com números. Por exemplo:
a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5×4)+15
São expressões matemáticas que
apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões
literais. Por exemplo:
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas
variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um
valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão
algébrica
Nas operações em uma expressão
algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
1. Potenciação ou
Radiciação
2. Multiplicação ou
Divisão
3. Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
1. Antes de cada uma das
três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos
parênteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplicação pode
ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique
clara a intenção da expressão.
3. Muitas vezes devemos
utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
1. Consideremos P=2A+10
e tomemos A=5. Assim
2. P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável
da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da
expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor
numérico de P=2A+10 é igual a 28.
3. Seja X=4A+2+B-7 e
tomemos A=5 e B=7. Assim:
4. X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor
numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
5. Seja Y=18-C+9+D+8C,
onde C= -2 e D=1. Então:
6. Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 =
30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o
valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de
uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a
variável por um valor numérico.
1. Um triângulo
eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um
triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um
triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da
forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.
2. Para obter a área do
quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do
quadrado de lado L que é A=L×L=L².Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do
lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
3. Escreva expressões
algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
4. Se a letra y
representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada
um dos seguintes fatos:
a. O dobro desse número.
b. O sucessor desse
número.
c. O antecessor desse
número (se existir).
d. Um terço do número
somado com seu sucessor.
5. Como caso particular
do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
a. do dobro de y
b. do sucessor de y
c. do antecessor de y
d. da terça parte de y
somado com o sucessor de y
6. Calcular a área do
trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela
expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida
da base menor e h é a medida da altura.
São expressões matemáticas especiais
envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações
de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na
tabela:
Nome
|
No.termos
|
Exemplo
|
monômio
|
um
|
m(x,y) = 3 xy
|
binômio
|
dois
|
b(x,y) = 6 x²y - 7y
|
trinômio
|
três
|
f(x) = a x² + bx + c
|
polinômio
|
vários
|
p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an
|
Identificação das expressões algébricas
Com muita frequência, as expressões algébricas
aparecem na forma:
onde se observa que ela depende das
variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
para deixar claro que esta é uma
expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e
nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais
importantes da Matemática.
Valor numérico de uma expressão
algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao
substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y,
então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 =
294
Se alterarmos os valores de x e de y
para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)² ×
5 = 3 × 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y,
poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 × (-7)² ×
2 = 294
A regra dos sinais (multiplicação ou
divisão)
(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
Para todos os números reais x e y
diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades
|
Alguns exemplos
|
xº=1 (x não nulo)
|
5º = 1
|
xm xn = xm+n
|
5².54 = 56
|
xm ym = (xy)m
|
5² 3² = 15²
|
xm ÷ xn = xm-n
|
520 ÷ 54 = 516
|
xm ÷ ym = (x/y)m
|
5² ÷ 3² = (5/3)²
|
(xm)n = xmn
|
(53)² = 125² = 15625 = 56
|
xm÷n = (xm)1/n
|
53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
|
x-m = 1 ÷ xm
|
5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
|
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n
|
5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2
|
Eliminação de parênteses em Monômios
Para eliminar os parênteses em uma
expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos
parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da
regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o
monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x =
11x
Operações com expressões
algébricas de Monômios
1. Adição ou Subtração de
Monômios
Para somar ou
subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois
realizar as operações.
Exemplos:
1. A = -(4x)+(-7x) =
-4x-7x = -11x
2. B = -(4x)+(+7x) =
-4x+7x = 3x
3. C = +(4x)+(-7x) =
4x-7x = -3x
4. D = +(4x)+(+7x) =
4x+7x = 11x
2. Multiplicação de
Monômios
Para multiplicar
monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com
muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais
de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x²y).(-2xy) =
+8x³y²
2. B = -(4x²y).(+2xy) =
-8x³y²
3. C = +(4x²y).(-2xy) =
-8x³y²
4. D = +(4x²y).(+2xy) =
+8x³y²
3. Divisão de Monômios
Para dividir
monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com
muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de
mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1. A = -(4x²y)÷(-2xy) =
2x
2. B = -(4x²y)÷(+2xy) =
-2x
3. C = +(4x²y)÷(-2xy) =
-2x
4. D = +(4x²y)÷(+2xy) =
2x
4. Potenciação de
Monômios
Para realizar a
potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do
valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e
escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
1.
A =(+4x²y)³= 4³
x²y x²y ²y = 256 x6 y³
2.
B =(-4x²y)³ =
-4³x²y x²y x²y = -256x6 y³
1. Quadrado da soma de
dois termos
Sabemos que x²=x.x,
y²=y.y, mas não é verdade que
a menos que um dos
dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
Isto significa que o
quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses
números.
Existe um algoritmo
matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é
semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos.
Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
x+y
|
x+y
|
+xy+y²
|
x²+xy
|
x²+2xy+y²
|
|
Compare
as duas
operações
|
10+3
|
10-3
|
+10.3+3²
|
10²+10.3
|
10²+2.10.3+3²
|
|
Assim temos que o
quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo
com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo
segundo termo. Em resumo:
Exemplos:
(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25
Exercícios: Desenvolver as
expressões:
(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =
Pensando um pouco:
1. Se (x+7)²=x²+[ ]+49,
qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
2. Se (5a+[ ])² =
25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
3. Se ([ ]+9)² = x²+[
]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
4. Se (4b+[ ])² =
l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
5. Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ],
substitua os [ ] por algo coerente.
2. Quadrado da diferença
de dois termos
Como um caso
particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao
quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
Exemplos:
(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²
Exercícios: Complete o que
falta.
(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]
3. Produto da soma pela
diferença de dois termos
Vamos utilizar o
mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x+y
|
x-y
|
-xy-y²
|
x²+xy
|
x²
-y²
|
|
Compare
as duas
operações
|
10+3
|
10-3
|
-10.3-3²
|
10²+10.3
|
10² -
3²
|
|
Em geral, o produto
da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o
quadrado de y.
Exemplos:
(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²
Exercícios: Complete as
expressões:
(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(100-u)(100+u) =
(u-100)(100+u) =
